Nein. Ob Bundesfreiwilligendienst oder Freiwilliges Soziales Jahr: Diese Freiwilligendienste sind grundsätzlich und ausnahmslos sozialversicherungspflichtig. Während dem Freiwilligendienst übernimmt der Träger die Kosten für Sozialversicherungen (also Kranken-, Unfall-, Pflege-, Renten- und Arbeitslosenversicherung). Daher kann es keinen Zuschuss zu einer privaten Versicherung geben.
Wenn du vor Beginn des Freiwilligendienstes privat versichert bist, kannst du aber mit deiner Privatversicherung eine sogenannte "Anwartschaft" vereinbaren. Damit hättest du die Möglichkeit, nach dem FSJ ober BFD wieder in die private Versicherung zurückzukehren - sofern du dann im Anschluss kein sozialversicherungspflichtiges Arbeitsverhältnis eingehst.